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लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक

लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक (Least Common Multiple and Highest Common Factor)

Introduction:

* गुणनखण्ड तथा गुणज (Factor and Multiple): यदि दो संख्याओं में से पहली संख्या, दूसरी संख्या को पूर्णतया विभक्त कर दे, तो पहली संख्या को दूसरी संख्या का गुणनखण्ड (Factor) तथा दूसरी संख्या को पहली संख्या का गुणज (Multiple) कहते हैं.

Example: संख्या 3 संख्या 24 का एक गुणनखण्ड है, जबकि संख्या 24, संख्या 3 का गुणज है.


* लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.)

: वह छोटी-से-छोटी संख्या जो प्रत्येक दी गई संख्या से पूर्णतया विभाजित हो जाए, दी गई संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य कहलाती है.

* लघुतम समापवर्त्य  निकालने की विधि : L.C.M ज्ञात करने की निम्नलिखित दो विधियाँ हैं :-

(1) अभाज्य गुणनखंड विधि [Prime Factorization Method]

क्रिया विधि –
(i) सबसे पहले दी गई संख्याओं में से प्रत्येक को अभाज्य गुणनखण्ड के रुप में व्यक्त करें.
(ii) उन सभी अभाज्य गुणनखण्डों को सबसे बड़े घात के साथ चुन लें, जो उनमें से किसी भी संख्या के गुणनखण्ड में सम्मिलित हो |
(iii) अब चुने गये अभाज्य गुणनखण्डों को गुणा करके अभीष्ट LC.M. ज्ञात करें.

Example: 18, 28, 108 तथा 105 का L.C.M.क्या होगा ?
यहाँ, 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32,
28 = 2 × 2 × 7 = 22 × 7
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 22 × 33
तथा 105 = 3 × 5 × 7
अभीष्ट L.C.M. = 22 × 33 × 5 × 7 = 4 × 27 × 5 × 7 = 3780 Ans.
यहाँ, 2 तथा 3 का सबसे बड़ा घात क्रमश: 22 तथा 33 है एवं दूसरे अभाज्य गुणनखंड 5 तथा 7 है।

(2) विभाजन विधि [Division Method]

क्रिया विधि –
(i) दी गई संख्याओं को एक पंक्ति में रखकर अभाज्य संख्याओं 2 3 5 7 11 आदि में से सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग दें जो इन दी गयी संख्याओं में से कम से कम किन्ही दो में पूरा पूरा भाग लग जाए.
(ii) इसके बाद जो भागफल प्राप्त हो उन्हें तथा दी गई संख्याओं में जो संख्या पूरी नहीं बंट सकती उनको भी दूसरी पंक्ति में उतरे.
(iii) पहली पंक्ति वाली क्रिया दूसरी, तीसरी पंक्तियों में सबसे छोटी अभाज्य संख्या से करते जाएं हो सकता है कि किसी क्रिया को दोहराना भी पड़े.
(iv) सभी भाजकों एवं अन्तिम पंक्ति की संख्याओं को गुणा करके अभीष्ट L. C. M. प्राप्त कर लें।

Example: 36, 60, 84 तथा 90 का L.C.M.क्या होगा ?
Solution:

लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 

अत: अभीष्ट L.C.M.=2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7=1260 Ans.

दशमलव संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य (L.C.M. of Decimals)
क्रिया विधि – 
दिए गए दशमलव संख्याओं का L.C.M. ज्ञात करने के लिए उनके संगत पूर्णाक संख्याओं का LC.M. निकालें तथा प्राप्त LCM में दाहिने ओर से उतने अंक के बाद दशमलव डाले जितना कि दशमलव के न्यूनतम अंकों की संख्या में दशमलव के बाद दाहिने ओर अंक हो.

Example: 2.4, 0.36, 0.045 का L.C.M.क्या होगा ?
Solution:

लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 

संगत पूर्णाक संख्या का L.C.M. =3 × 3 × 4 × 2 × 5 = 360
अत: अभीष्ट L.C.M.=36.0 = 36 Ans.

Note: यहाँ संख्या 2.4 में दशमलव के बाद सबसे काम एक अंक है।इसलिए पूर्णाक संख्याओं के L.C.M. 360 में दाहिने ओर से एक अंक ‘0’ के बाद दशमलव बैठाया गया है.

भिन्नों का लघुतम समापवर्त्य (L.C.M. of Fractions)
Formula:

लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 
लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 

घात एवं घातांक का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M. of Power and Base)

TYPE-1
Trick – यदि दी गयी संख्याओं का आधार (Base) समान और घात (Power) असमान हो तो उनका LCM अधिकतम घात वाली संख्या होगी

Example 1. 37   312   317 का लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा ?
Solution: LC.M. = 317 Ans.

Example 2. 5-9   5-7   5-14 का लघुत्तम समापवर्त्य क्या होगा ?
Solution: 5-7 Ans.     [∵  -7 > -14 ]

TYPE – 2
TRICK – यदि दी गई संख्याओं का घात तथा घतांक दोनों असमान हो तो उनका L.C.M. गुणनखण्ड विधि से ज्ञात किया जाता है.

लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 

महत्तम समापवर्तक (Highest Common Factor) :

दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) वह बड़ी-से-बड़ी संख्या है जो उनमें से प्रत्येक को पूरा-पूरा विभाजित कर दे.

महत्तम समापवर्तक ज्ञात करने की विधि – महत्तम समापवर्तक निकालने की निम्नलिखित दो विधियाँ हैं :-

1. अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method)
क्रिया विधि –
(i) पहले दी गई संख्याओं में से प्रत्येक को अभाज्य गुणनखण्डों के रुप में व्यक्त करें.
(ii) जो गुणनखण्ड सभी संख्याओं में वर्तमान हो अर्थात् सर्वनिष्ठ हो उसका गुणनफल ज्ञात करें , यही गुणनफल दी गयी संख्याओं का HCF होगा |

Example: 28 और 32 का महत्तम समापवर्तक क्या होगा ?
Solution: 28 = 2 × 2 × 7 तथा
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
दी गई संख्याओं 28 तथा 32 में उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 2 तथा 2 है, अत: अभीष्ट H.C.F = 2 × 2 = 4 Ans.

2. लगातार विभाजन विधि Continued Division Method
क्रिया विधि –
(i) दी गई संख्याओं में से सबसे पहले बड़ी संख्या में छोटी संख्या से भाग दें.
(ii) फिर जो शेष बचे उससे पहले विभाजक में भाग दें. अर्थात् यह दूसरा विभाजक हुआ.
(iii) यदि फिर शेष बचे तो इस नए शेष से दूसरे विभाजक में भाग दें.
(iv) इस क्रिया की पुनरावृत्ति तब तक करें जब तक कि शेष शून्य न प्राप्त हो.
(v) इस प्रकार सबसे अन्तिम विभाजक ही दी गई संख्याओं का H.C.F. होगा.

Example: 493 और 928 का महत्तम समापवर्तक क्या होगा ?
Solution:

लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 

तीन या तीन से अधिक संख्याओं का H.C.F. ज्ञात करने का विभाजन विधिः

क्रिया विधि –
(i) पहले दी गई संख्याओं में से किन्हीं दो संख्याओं का H.C.F. लगातार विभाजन विधि से ज्ञात कर लें,
(ii) फिर इस H.C.F एवं दी गई संख्याओं में से किसी शेष संख्या का H.C.F. ज्ञात कर ले.
(iii) यह क्रिया सभी दी गई संख्याओं के साथ करें.
(iv) अन्त में जो H.C.F. प्राप्त होगा, वही अभीष्ट H.C.F. होगा.

लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 
लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 

दशमलव संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (H.C.F. of Decimals)

क्रिया विधि –

दी गई दशमलव संख्याओं का H.C.F. ज्ञात करने के लिए उनके संगत पूर्णाक संख्याओं का H.C.F. निकालें तथा प्राप्त H.C.F. में दाहिने ओर से उतने अंक के बाद दशमलव डालें जितना कि दशमलव के अधिकतम अंकों की संख्या में दशमलव के बाद दाहिने ओर अंक हो,

Example: 1.5, 0.24 तथा 0.036 का महत्तम समावर्तक क्या होगा ?
Solution: 15 = 3 × 5
24 = 3 × 23
36 = 3 × 3 × 22
संगत पूर्णाक का H.C.F = 3
अत: अभीष्ट H.C.F= 0.003 Ans.

भिन्नों का महत्तम समापवर्तक (H.C.F. of Fractions)

Formula:

लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 
लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 

घात एवं घातांक का महत्तम समापवर्तक (H.C.F. of Power and Base)

TYPE -1
TRICK – यदि दी गई संख्याओं का आधार (Base) समान तथा घात असमान हो तो उनका H.C.F. न्यूनतम घात वाली संख्या होगी?

Example 1 : 28   210   215 का महत्तम समापवर्तक क्या होगा ?
Solution : अभीष्ट H.C.F = 28

Example 2: 712    713    718 का महत्तम समापवर्तक क्या होगा ?
Solution: अभीष्ट H.C.F = 7-18 Ans. [ ∵  -18 < -12 ]

TYPE – 2
TRICK – यदि दी गई संख्याओं का घात तथा घतांक दोनों असमान हो तो उनका H.C.F. गुणनखण्ड विधि से ज्ञात किया जाता है.

Example 1 : 52    43 का महत्तम समापवर्तक क्या होगा ?
Solution : 52 = 1 × 52  तथा  43 = 1 × 43
अभीष्ट H.C.F = 1 Ans.

लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 

Formula: पहली संख्या × दूसरी संख्या = H.C.F × L.C.F

Example: दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक तथा लघुतम समापवत्र्य क्रमश: 12 तथा 396 हैं. यदि उनमें से एक संख्या 36 हो तो दूसरी संख्या क्या होगी ?

लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक 






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