संख्या श्रेणी Mathematics

Introduction: प्रतियोगिता परीक्षाओं में संख्या-श्रेणी सम्बन्धित निम्नलिखित दो प्रकार से वस्तुनिष्ठ प्रश्न पूछे जाते हैं- .

1. दी गई संख्या-श्रेणी में उपस्थित गलत संख्या की पहचान करनी होती है.
2. दी गई संख्या-श्रेणी की अगली संख्या ज्ञात करनी होती है.

Example 1. दी गई श्रृंखला में कौन सी संख्या गलत है ?

यहाँ संख्या 20 गलत है. अत: संख्या 20 के स्थान पर संख्या 19 होगी.

Example 2. दी गई संख्या क्रम का अगला पद क्या होगा ?

3           12           30           66          138            …?…

Explanation: (3 × 2) + 6 = 12, (12 × 2) +6 = 30, (30 × 2) + 6 = 66, (66 × 2) + 6 = 138, (138 × 2) + 6 = 282

अत: अभीष्ट पद = 282 Ans.

Types of Number Series

1. घात श्रृंखला (Power Series)

(A) वर्ग श्रृंखला (Square Series):

Identification: यदि दी गई संख्या-श्रेणी के सभी पद किसी न किसी संख्या के वर्ग हों या उस के कोई करीबी संख्या हो, तो वह श्रृंखला वर्ग श्रृंखला होगा.

Example 1. दी गई संख्या श्रेणी में कौन सी संख्या गलत है ?

इस श्रेणी में बाईं ओर से दायीं ओर पहला, तीसरा, पाँचवा तथा सातवाँ पद क्रमश: 1, 1 + 2 = 3, 3 + 2 = 5 तथा 5 + 2 = 7 के वर्ग हैं और दूसरा, सातवाँ, चौथा तथा छठा पद क्रमश: 4, 4+4 = 8 तथा 8+4 = 12 के वर्ग हैं. अत: इस संख्या श्रेणी की संख्या 169 गलत है.

Example 2. दी गई संख्या-श्रेणी का अगला पद क्य होगा ?

इस श्रृंखला के प्रत्येक जोड़े में पहली संख्या जिस संख्या का वर्ग है, दूसरी संख्या उसी संख्या के वर्ग तथा उस संख्या के योग के बराबर है. अत: अगली संख्या 110 होगी.

(B) धन (cube series):

Identification: यदि दी गई संख्या-श्रेणी के सभी पद किसी न किसी संख्या के धन हों या उस के कोई करीबी संख्या हो , तो वह श्रृंखला धन श्रृंखला होगा

Example: दी गई संख्या क्रम में कौन सी संख्या गलत है?

यहाँ संख्या 65 गलत है. अत: संख्या 65 के स्थान पर ’64” होगा |

(C) वर्ग तथा घन जोड़ श्रृंखला (Square addition and Cube addition Series).

Identification: यदि दी गई संख्या-श्रेणी के आरंभिक दो पदों का अन्तर बहुत कम तथा अन्तिम दो पदों का अन्तर बहुत अधिक हो तो वह श्रृंखला वर्ग जोड़ या धन जोड़ श्रृंखला हो सकता है.

Example 1. दी गई श्रृंखला में कौन सी संख्या गलत है ?

इस श्रेणी की संख्या 103 गलत है अत: संख्या 103 के स्थान पर संख्या 88 होगी.

Example 2. दी गई संख्या क्रम का अगला पद क्या होगा ?

अत: अभिष्ट संख्या 1228 है.

2. जोड़ श्रृंखला (ADDITION SERIES)

(A). नियत जोड़ श्रृंखला (Constant Addition Series)

Identification: यदि दी गई संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों का अन्तर बहुत अधिक न हो और दो क्रमागत पदों का अन्तर समान हो तो वह श्रृंखला नियत जोड़ श्रृंखला हो सकता है.

Example: दी गई श्रृंखला में कौन सी संख्या गलत है?

इस संख्या श्रेणी में संख्या 154 गलत है. अत: संख्या 154 के स्थान पर संख्या 153 होगी.

(B) जोड़ श्रृंखला (बढ़ते क्रम में) Addition Series (in increasing order):

Identification: यदि दी गई संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों का अन्तर बहुत अधिक न हो और दो क्रमागत पदों का अन्तर बढ़ते क्रम में हो तो वह श्रृंखला जोड़ श्रृंखला (बढ़ते क्रम में) हो सकता है.

Example: दी गई संख्या क्रम में कौन सी संख्या गलत है?

इस संख्या-श्रेणी की संख्या 36 गलत है. अत: संख्या 36 के स्थान पर संख्या 37 होनी चाहिए.

3. गुणा श्रृंखला (Multiplication Series).

(A) नियत गुणा श्रृंखला (Constant Multiplication Series).

Identification: यदि दी गई संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों का अन्तर बहुत अधिक हो और दो क्रमागत पदों का अनुपात समान हो तो वह श्रृंखला नियत गुणा-श्रृंखला हो सकता है.

Example: दी गई संख्या-श्रेणी में कौन सी संख्या गलत है ?

इस संख्या-श्रेणी की संख्या 365 गलत है. अत: संख्या 365 के स्थान पर संख्या 375 होगी.

(B)गुणा श्रृंखला (बढ़ते क्रम में) Multiplication Series (In increasing Order)

Identification: यदि दी गई संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों का अन्तर बहुत अधिक हो और दो क्रमागत पदों का अनुपात बढ़ते क्रम में हो तो वह श्रृंखला गुणा श्रृंखला (बढ़ते क्रम में) हो सकता है.

Example: दी गई संख्या-श्रेणी में कौन सी संख्या गलत है ?

इस संख्या-श्रेणी की संख्या 270 गलत है. अत: संख्या 270 के स्थान पर संख्या 236.25 होना चाहिए.

4. गुणा तथा जोड़ श्रृंखला (MULTIPLICATION and ADDITION SERIES)

(A) नियत गुणा तथा नियत जोड़ श्रृंखला (Constant Multiplication and Constant Addition Series):

Identification: यदि किसी संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों में बहुत अधिक का अन्तर हो और उसके दो क्रमागत पदों में से पहली संख्या में किसी निश्चित संख्या से गुणा करके कोई निश्चित संख्या जोड़ने पर क्रमश: अगली संख्याएँ प्राप्त होती हों तो वह संख्या-श्रेणी नियत गुणा तथा नियत जोड़ श्रृंखला हो सकता है.

Example: दी गई श्रृंखला में कौन-सी संख्या गलत है?

इस संख्या श्रेणी की संख्या 48 गलत है. अतः संख्या 48 के स्थान पर संख्या 47 होना चाहिए.

(B) नियत गुणा तथा बढ़ते क्रम में जोड़ श्रृंखला (Constant Multiplication and Increasing Addition Series)

Identification: यदि किसी संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों में बहुत अधिक का अन्तर हो और उसके दो क्रमागत पदों में से पहले पद में एक निश्चित संख्या से गुणा करके बढ़ते क्रम में संख्या जोड़ने पर क्रमश: अगले पद प्राप्त होते हों तो वह श्रृंखला नियत गुणा तथा बढ़ते क्रम में जोड़ श्रृंखला हो सकता है.

Example: दी गई संख्या क्रम में कौन सी संख्या गलत है 2

इस संख्या श्रेणी में संख्या 38 के स्थान पर संख्या 35 होगी. अत: इस श्रेणी की संख्या 38 गलत है.

(C) बढ़ते क्रम में गुणा तथा नियत जोड़ श्रृंखला (Increasing Multiplication and Constant Addition Series).

Identification: यदि किसी संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों में बहुत अधिक का अन्तर हो और उसके दो क्रमागत पदों में से पहले पद में बढ़ते क्रम में किसी संख्या से गुणा करके कोई निश्चित संख्या जोड़ने पर क्रमश: अगले पद प्राप्त होते हों तो वह श्रृंखला बढ़ते क्रम में गुणा तथा नियत जोड़ श्रृंखला हो सकता है.

Example: दी गई संख्या क्रम में कौन सी संख्या गलत है ?

इस संख्या-श्रेणी में संख्या 16 के स्थान पर संख्या 17 होगी. अत: संख्या 16 गलत है.

(D) बढ़ते क्रम में गुणा तथा बढ़ते क्रम में जोड़ श्रृंखला (Increasing Multiplication and Increasing Addition Series).

Identification: यदि दी गई किसी संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों का अन्तर बहुत अधिक हो और उसके दो क्रमागत पदों में से पहले पद में बढ़ते क्रम में संख्या से गुणा करके बढ़ते क्रम में कोई संख्या जोड़ने पर क्रमश: अगली संख्याएँ प्राप्त होती हों तो वह श्रृंखला बढ़ते क्रम में गुणा तथा बढ़ते क्रम में जोड़ श्रृंखला हो सकता है.
Example: दी गई संख्या-श्रेणी में कौन सी संख्या गलत है?

इस संख्या-श्रेणी में संख्या 37 के स्थान पर संख्या 27 होगी. अत: संख्या 37 गलत है.

5. गुणा तथा व्यकलन श्रृंखला (MULTIPLICATION and SUBTRACTION SERIES)

(A) नियत गुणा तथा नियत घटाव श्रृंखला (constant Multiplication and Constant Subtraction Series)

Identification: यदि दी गई किसी संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों में बहुत अधिक का अन्तर हो और उसके दो क्रमागत पदों में से पहले पद में किसी निश्चित संख्या से गुणा करके कोई निश्चित संख्या घटाने पर क्रमश: अगली संख्याएँ प्राप्त होती हो तो वह श्रृंखला नियत गुणा तथा नियत घटाव श्रृंखला हो सकता है.

Example: दी गई संख्या-श्रेणी में कौन सी संख्या गलत है?

इस संख्या-श्रेणी में संख्या 192 के स्थान पर संख्या 194 आएगी. अत: संख्या 192 गलत है.

(B) नियत गुणा तथा बढ़ते क्रम में घटाव श्रृंखला (Constant Multiplication and Increasing Subtraction Series):

Identification : यदि दी गई किसी संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों का अन्तर बहुत अधिक हो और दो क्रमागत पदों में से पहले पद में किसी नियत संख्या से गुणा करके बढ़ते क्रम में कोई संख्या घटाने पर क्रमश: अगली संख्याएँ प्राप्त होती हों तो वह श्रृंखला नियत गुणा तथा बढ़ते क्रम में घटाव श्रृंखला हो सकता है.

Example : संख्या क्रम में कौन सी संख्या गलत है ?

इस संख्या-श्रेणी में संख्या 39 के स्थान पर संख्या 38 आएगी. अत: संख्या 39 गलत है.

(C) बढ़ते क्रम में गुणा तथा नियत घटाव श्रृंखला (Increasing Multiplication and Constant Subtraction Series)

Identification: यदि दी गई किसी संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों का अन्तर बहुत अधिक हो और उसके दो क्रमागत पदों में से पहले पद में बढ़ते क्रम में संख्या से गुणा करके कोई नियत संख्या घटाने पर क्रमश: अगली संख्याएँ प्राप्त होती हों तो वह श्रृंखला बढ़ते क्रम में गुणा तथा नियत घटाव श्रृंखला हो सकता है.
Example : दी गई संख्या श्रेणी में कौन सी संख्या गलत है ?

इस संख्या-श्रेणी में संख्या 67 के स्थान पर संख्या 68 आएगा. अत: संख्या 67 गलत है.

(D) बढ़ते क्रम में गुणा और बढ़ते क्रम में घटाव श्रृंखला (Increasing Multiplication and Increasing Subtraction Series)

Identification: यदि दी गई किसी संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों का अन्तर बहुत अधिक हो और उसके दो क्रमागत पदों में से पहले पद में बढ़ते क्रम में संख्या से गुणा करके बढ़ते क्रम में किसी संख्या को घटाने पर क्रमश: अगली संख्याएँ प्राप्त हों तो वह श्रृंखला बढ़ते क्रम में गुणा तथा बढ़ते क्रम में व्यकलन श्रृंखला हो सकता है.

Example: दी गई श्रृंखला में कौन सी संख्या गलत है ?

इस संख्या-श्रेणी में संख्या 1325 के स्थान पर संख्या 1321 आएगी. अत: संख्या 1325 गलत है.

6. गुणा तथा भाग श्रृंखला (MULTIPLICATION and DIVISION SERIES)

Identification: यदि दी गई किसी संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों का अन्तर बहुत अधिक न हो और पहला पद से दूसरा पद बड़ा, दूसरा पद से तीसरा पद छोटा तथा तीसरा पद से चौथा पद बड़ा हो तो वह श्रृंखला गुणा तथा भाग श्रृंखला हो सकता है.
Example: दी गई श्रृंखला में कौन सी संख्या गलत है ?

इस संख्या-श्रेणी में संख्या 18.5 के स्थान पर संख्या 13.5 आएगी. अत: संख्या 18.5 गलत है.

7. भाग तथा गुणा श्रृंखला (Division and Multiplication series)

Identification: यदि दी गई किसी संख्या-श्रेणी के प्रथम तथा अन्तिम पदों का अन्तर कम हो और पहला पद से दूसरा पद कम, दूसरा पद से तीसरा पद अधिक और तीसरा पद से चौथा पद कम हो तो वह श्रृंखला भाग तथा गुणा श्रृंखला हो सकता है.

Example: दी गई संख्या श्रेणी में कौन सी संख्या गलत है ?

इस संख्या-श्रेणी में संख्या 92 के स्थान पर संख्या 96 आएगी. अत: संख्या 92 गलत है.

8. अंतराल श्रृंखला (ALTERNATE SERIES)

Identification: यदि दी गई किसी संख्या-श्रेणी की पहली, तीसरी, पांचवी तथा सातवीं पदों में एक निश्चित संख्या को जोड़ने या घटाने या उस निश्चित संख्या से गुणा करने या भाग देने पर क्रमश: दूसरी, चौथी, छठी तथा आठवीं पद प्राप्त होते हों और दूसरी, चौथी तथा छठी पदों में एक दूसरी किसी निश्चित संख्या को जोड़ने या घटाने या उस निश्चित संख्या से गुणा करने या भाग देने से क्रमश: तीसरा, पाँचवाँ तथा सातवाँ पद प्राप्त होते हों तो वह श्रृंखला अंतराल श्रृंखला हो सकता है.

Example 1.. दी गई श्रृंखला में कौन सी संख्या गलत है ?

इस श्रृंखला में संख्या 12 के स्थान पर संख्या 13 आएगा. अतः संख्या 12 गलत है.

Example 2. दी गई संख्या क्रम में कौन सी संख्या गलत है ?

इस संख्या-श्रेणी में संख्या 4 के स्थान पर संख्या 6 आएगी. अत: संख्या 4 गलत है. –

9. जोड़ा श्रृंखला (PAIR-SERIES)

Identification: यदि दी गई किसी संख्या-श्रेणी के पहले, तीसरे तथा पाँचवें पद में एक निश्चित संख्या को जोड़ने या घटाने या उस निश्चित संख्या से गुणा करने या भाग देने पर क्रमश: तीसरा, पाँचवा तथा सातवाँ पद प्राप्त होते हों और दूसरे, चौथे तथा छठे पद में किसी दूसरी निश्चित संख्या को जोड़ने या घटाने या उस निश्चित संख्या से गुणा करने या भाग देने पर क्रमश: चौथा, छठा तथा आठवाँ पद प्राप्त होते हों तो वह श्रृंखला जोड़ा श्रृंखला हो सकता है.

Example 1. दी गई संख्या क्रम में कौन सी संख्या गलत है ?

इस जोड़ा श्रृंखला में संख्या 71 के स्थान पर संख्या 74 आएगी. अत: संख्या 71 गलत है.

Example 2. दी गई श्रृंखला में कौन सी संख्या गलत है ?

इस श्रृंखला में संख्या 10 के स्थान पर संख्या 14 आएगा. अत: संख्या 10 गलत है.